Kunszt József Zubrohlaván született (Árva vármegye, ma Szlovákia része) 1790. június 28-án. Budai és nagyszombati iskolái után kezdte meg tanulmányait az Esztergomi Főegyházmegye papnövendékeként. 1807-ben a pozsonyi Emericanumba küldték, majd 1808-ban Nagyszombatba filozófiát tanulni, 1810-től pedig a bécsi Pazmaneum növendéke lett. 1813-as pappá szentelését követően Drégelypalánkon lett káplán, de már 1814-ben központi szolgálatra rendelték, nagybátyja, Kovalik János választott püspök és esztergomi érseki helynök érseki levéltárossá nevezte ki. Mint esztergomi aulista, később a bécsi Pazmaneum igazgatója széleskörű tapasztalatokra tett szert a lelkipásztorkodás mellett egyházkormányzati és pedagógiai téren is. 1845-ben a prímás esztergomi helynöke, halála után káptalani helynök, majd 1850-ben kassai püspök lett.

Kassán azonban nem sokáig tevékenykedett, mivel rövid időn belül, 1851. november 30-án kalocsa-bácsi érsekké nevezte ki I. Ferenc József. IX. Pius pápa 1852. március 15-én prekonizálta. „Oly főpásztort nyert ezzel Kalocsa” – mondta róla gyászbeszédében Liponovszky István – „kinek hite mint az apostoloké igaz és rendületlen vala, mely tiszta katolikus hitvallásban, életszentségben s legnemesebb cselekedetekben nyilatkozott, ki szeretetével Istenért és felebarátért élt s halt, kit okossága valódi bölccsé, igazsága és mérséklete bámulandóvá, lelki erőssége hőssé varázsoltak.”

Kunszt József kalocsai szolgálata óriási hatással volt a város jövőjére. Renováltatta a Főszékesegyházat, 1860-ban betelepítette az iskolanővéreket Kalocsára, létrehozta kalocsai zárdájukat és nevelőintézetüket, megalapítva a Miasszonyunkról Nevezett (Szegény) Kalocsai Iskolanővérek Társulatát, akik idővel elemi iskolát, polgári iskolát, óvónőképzőt és polgári iskolai tanárképzőt szerveztek. Ennek megfelelően sok iskola és fiú- és leány-nevelőintézet alapítása fűződik a nevéhez érseki egyházmegyéje területén. Ő hívta be ugyanekkor Kalocsára a jezsuitákat is, hogy vegyék át a gimnáziumot, új épületet is alapított a számukra. Az érseki tanítóképzőt is ő alapította, és alapot hozott létre a kisszeminárium megalapítására. Reformokat vezetett be a kalocsai szemináriumban, és egy új, nagyobb kápolnát építtetett.  

Mint szónok nem volt nagy, „de mosoly és hímes szavak nélkül is a védtelenek mentője, az elnyomottak feltámasztója, az ügyefogyottak fölsegítője, mindenkinek igazságszolgáltatója volt”. „A szegények segélyezésére 46,200 forintnyi alapítványt tett, az elaggott papok alapítványát 10,000 forinttal nevelte, sok templomot fölsegített, fölépített s így tőn a népnevelés csarnokaival, az iskolákkal és tanítókkal is.” Képei zömök termetű, széles arcú, szőke és kékszemű, tudós kinézésű főpapot mutatnak, megjelenése nem lehetett nagyon imponáló, de ami a külsőben hiányzott belőle, azt pótolta fejedelmi bőkezűsége: akkori értéken jelentős összeget, mintegy egymillió forintot adományozott jótékony célokra. 1863-ben a tíz évvel azelőtt létrehozott Zágrábi Érseki Tartomány révén kisebbé lett Kalocsai Érseki Tartomány számára tartományi zsinatot tartott. Érdemei elismeréséül Őfelsége valóságos belső titkos tanácsossá nevezte ki, megkapta a Lipót-rend és a Szent István Rend nagykeresztjét, végül Kollányi szerint Hétszemélyes Tábla társbírája lett.

1865. december elején Pestre utazott az Országgyűlésre, azonban 1866. január 5-én szélhűdés érte és meghalt. Földi maradványait Kalocsára szállították, a Főszékesegyházban temették el. Végrendeletében több adományt hagyott iskolákra, zárdákra, egyletekre, szentmisékre, szegényeknek és más célokra. Hagyatékának nagyobb részét azonban a jezsuita vezetés alatt létesítendő kisszeminárium és a szegény diákok javára ajánlotta. Emlékére és a kalocsai érsekség fennállásának 1000 éves évfordulójára Bábel Balázs kalocsa-kecskeméti érsek 2001-ben Kunszt József-díjat alapított, melyet minden évben, május 15-én, Kunszt József érseki kinevezésének emléknapján három pedagógusnak adnak át. Az elismerést több kecskeméti iskolavezető, illetve tanár is - például: Lipótzy István, Pálinkásné Kócsó Mária, P. Szabó István, Tóthné Vámos Edit és Weninger Endréné - átvehette már.

(Források:  *Kalocsai Főegyházmegyei Levéltár  *Kerkai György: A Kalocsai Kollégium, 1860–1940)